为什么圆锥体积是等底等高圆柱体积的13

2025-05-26 09:06

为什么圆锥体积是等底等高圆柱体积的13

息想—Ｅ蛋目Ｅ汪丑为什么圆锥体积是等底等高圆柱体积的１引言面积、体积说到底是一种测度，满足非负性、可加性、平移性等．面积、体积是数学中的重要问题．面积、体积问题具有基础性，对后续的数学问题具有辐射性．吴文俊先生曾说：将来的数学应该是走中国古代数学道路，而不是Ｉ司际道路，这是一条总的趋势．我国古代数学强调算法化，与西方公理化的数学旨趣迥异．祖咆原理是在求球的体积的过程中产生的，是我国古代数学的优秀文化遗产．学习这一原理不仅能激发我们的民族自豪感，也能初步领略我国古代数学对现代数学的影响．本文先用祖咂原理解释为什么圆锥体积是等底等高圆柱体积的｝，然后介绍祖咂ｊ原理的历史，初步体会这一原理的巧思及对微积分求积问题的启示性．２祖瞻原理祖咂原理也就是等积原理．祖瞩是我国齐梁时代的数学家，是祖冲之的儿子．他提出了一个原理：缘幂势既同，则积不容异．这里的幂指水平截面的面积，势指高．这个原理是说，夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平行平面的平面所截，如果截得两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．这个原理很容易理解．取一摞书或一摞纸张堆放在水平桌面上，然后用手推一下以改变其形状。

这时高度没有改变，每页纸张的面积也没有改变，因而这摞书或纸张的体积与变形前相等．祖咂不仅首次明确提出了这一原理，还成功地将其应用于推算球的体积．还有对平面图形的祖咂原理．夹在两条平行直线间的两个平面图形，被平行于这两条平行直线的直线所截，如果截得两条线段的长度总相等，那么这两个平面图形的面积相等．在西方，直到１７世纪，这个原理才由意大利数学家卡瓦列里发现．他于１６３５年出版的《连续不可分几徐章韬１’ ２王春华３何》中，提出了等积原理，所以西方人把它称之为卡瓦列里原理．他的发现比我国的祖瞒晚了１１００多年．这一原理在数学史上是具有里程碑意义的事件，是希腊人的穷竭法向牛顿一莱布尼茨微积分的一种过渡，对１７世纪上半叶微积分思想的发展有很大影响，是微积分萌芽的先声．这一原理是计算面积和体积的有用工具，它的直观基础很容易通过微积分而严格化（在微积分中，祖晌原理降格成了一条定理）．如果作为直观上的显然而承认祖咂原理，那么以长方体体积公式和此原理为基础，可以求出柱、锥、台、球等的体积．设有底面积都等于．ｓ，高都等于ｈ的任意一个棱柱、一个圆柱和一个长方体，使它们的下底面都在同一个平面内．因为用任一平行平面截这三个几何体，所得的截面积相等，根据祖啦原理，可知它们的体积相等．由于长方体的体积等于它的底面积乘以高，于是得到柱体的体积公式Ｓ柱体＝Ｓｈ．设有底面积都等于５，高都等于ｈ的一个棱锥和一个圆锥，使它们的底面都在同一平面内，根据祖咂原理，可知它们的体积相等，即等底面积等高的两个锥体的体积相等．如图１，设三棱柱Ａ曰Ｃ．Ａ７曰’ Ｃ ’ 的底面积（即ＡＡＢＣ的面积）为Ｓ，高（即点Ａ ’ 到平面ＡＢＣ的距离）为ｈ，则它的体积为鼽．沿平面Ａ７ＢＣ和平面Ａ ’ Ｂ ’ Ｃ将这个三棱柱分割成三个。